จนถึงตอนนี้ การอินทิเกรตเป็นเครื่องมือของเราในการวัดพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งเพียงเส้นเดียวกับพื้นผิวคงที่ของแกนแนวราบ แต่ถ้าพื้นผิวนั้นเองก็กำลังเคลื่อนที่ล่ะก็จะเป็นอย่างไร? ในบทเรียนนี้ เราจะข้ามไปยังแกนและเรียนรู้วิธีคำนวณพื้นที่ของบริเวณที่ถูกล้อมรอบด้วยขอบเขตฟังก์ชันสองแบบที่เป็นอิสระต่อกัน คือ $f(x)$ และ $g(x)$
เรขาคณิตของความแตกต่าง
เพื่อหาพื้นที่ $A$ ของบริเวณ $S$ ที่ถูกจำกัดโดย $y = f(x)$ และ $y = g(x)$ ระหว่าง $x = a$ กับ $x = b$ เราใช้ตรรกะเดียวกันกับผลรวมรีมานที่สร้างรากฐานของแคลคูลัส
การขยายผลรวมรีมาน
เราแบ่งบริเวณออกเป็นแถบแนวตั้งจำนวน $n$ แถบ หาก $x_i^*$ เป็นจุดตัวอย่างในช่วงที่ $i$ ความสูงของสี่เหลี่ยมประมาณค่าจะไม่ใช่แค่ $f(x_i^*)$ เท่านั้น แต่เป็น ความต่าง ระหว่างความสูงของเส้นโค้งด้านบนกับด้านล่าง:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
จากการรวมไปสู่การอินทิเกรต
As we increase the number of strips to infinity ($n \to \infty$), the sum of these rectangular areas converges to the definite integral:
核心公式:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
where $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
กฎของค่าสัมบูรณ์ของความต่าง
ถ้าเส้นโค้งตัดกันล่ะก็จะเป็นอย่างไร? หากเราอินทิเกรต $f-g$ โดยที่ $g$ จริงๆ แล้วอยู่เหนือ $f$ เราจะได้ผลลัพธ์เป็นลบ ดังนั้นเพื่อให้มั่นใจว่าเราคำนวณค่า ขนาด ของพื้นที่เสมอ เราจะใช้ค่าสัมบูรณ์:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 ทฤษฎีบทสูตรพื้นที่
หาก $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ $f(x) \ge g(x)$ สำหรับทุก $x$ ใน $[a, b]$ พื้นที่ $A$ ของบริเวณที่ถูกจำกัดโดย $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$, และ $x = b$ จะเป็น:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
ตัวอย่างที่ 1: เอ็กซ์โพเนนเชียลเทียบกับเชิงเส้น
หาพื้นที่ที่ถูกจำกัดด้านบนโดย $y = e^x$ ด้านล่างโดย $y = x$ จาก $x = 0$ ถึง $x = 1$
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$